해나의 컴공생존기

1. 문제정의 위 모양의 퍼즐을 1234 순서대로 만드는것이다. 빈칸의 상하좌우 숫자들은 빈칸과 자리를 바꿀 수 있다. 2. State Space 상태공간이란, 문제가 처할 수 있는 모든 상태를 모아놓은 것이다. 모든 상태가 다 solve가능한 상태일까? 아니다. 퍼즐 두개를 뽑아서 자리를 바꾸면 풀수 없는 상태가된다. 하지만 또 두개를 뽑아서 자리를 바꾸면 풀 수 있는 상태가 된다. state가 될 수 있는 모든 경우의수를 생각해보면 16!이다. 매우 큰 숫자이다..! 이 퍼즐에는 Invariant가 있다. Permutation과 빈칸과 코너의 거리를 더한 값이 유지된다는 것이다. 먼저 빈칸을 16으로 생각하고 배열을 만든다. 각 숫자에 자신보다 오른쪽 중 자신보다 작은수의 개수를 적는다(Permuta..

1. 문제 정의 N x N 크기의 체스판이 있을 때 N개의 퀸을 서로가 공격할 수 없도록 올려놓는 경우의 수를 구하는 문제이다. 2. idea N이 4일 때를 기준으로 생각해 보겠다. 2.1 다해본다 16C4 * 16 2.2 겹치는 경우는 뺀다. 한 열에 하나 씩 배치 4^4 2.3 cut off (1,1) 에 퀸을 배치하고 그 퀸이 갈 수 있는데를 다 표시한다. 표시되지 않은 칸들 중 하나에 퀸을 배치하고 또 그 퀸이 갈 수 있는데를 다 표시한다. 이런식으로 (1,1) 부터 (1,n)까지 시도해본다. 사실 오른쪽과 왼쪽은 대칭이기 때문에 왼쪽 반만하고 곱하기 2를 해줘도된다.

1. SCC (Strongly Connected Compnent) 방향 그래프에서 임의의 두 정점에 대해 양 방향으로 가는 경로가 모두 있을 때 두 점은 같은 SCC에 속해 있다고 한다. 즉 SCC는 모든 노드가 양방향으로 Reachable한 노드의 Maximal Subset 이다. 쉽게 말하자면 x→y가 있고 y→x가 있다면 strongly conneced하다고 한다. 사이클이 이의 가장 간단한 형태이다. 여기서 Maximal 과 Maximam의 차이를 조금 짚고 넘어갈 필요가 있응 것 같다. Maximal 은 한국어로 번역하면 극대라고 할 수 있다. 그 상황에서 가장 큰 값으로 이해하자. Maximam은 전체에서 가장 큰 것을 의미한다. DFS Tree에서 여러 트리가 있을 때 하나의 트리에는 여러가..

1. Topological Sort 번역하자면 위상정렬이다. *DAG: Directed Acyclic Graph (방향성이 있고 사이클이 없는 그래프) 위상 정렬은 DAG의 노드들을 왼쪽에서 오른쪽 방향(엣지 방향이 모두 오른쪽) 으로 정렬하는 것을 의미한다. DAG에 사이클이 존재하지 않으면 알고리즘은 항상 성공한다. 사이클이 없기 위해서는 indegree=0 인 노드가 최소 하나 이상 있어야한다. 이를 귀류법으로 증명해보겠다. indgree=0인 노드가 없다고 가정해보자. indgree=0인 노드를 안만들기 위해서는 계속 들어가는 노드를 만들어야하는데, 이 과정이 무한하게 흘러간다. 무한하지 않으려면 다른노드와 연결해야하는데 이렇게 되면 사이클이 생긴다. 1.1 algorithm DAG G에서 ind..

1. Cut Vertex Cut Vertex (절단점)는 제거할 경우 그래프가 끊어지게 되는 노드를 의미한다. 각 노드마다 노드를 지우고 그래프가 끊어졌는지를 확인하면 O(n (m+n))의 시간이 걸리게 된다. 하지만 DFS를 돌리고 DFS Tree를 생성하면 O(m+n)만에 절단점을 찾을 수 있다. 1.2. root Cut Vertex root 노드는 child가 2개 이상이라면 무조건 cut vertex이다. 증명해보자! 1) child가 0개인 경우 루트 노드밖에 없으므로 성립 2) child가 1개인 경우 사진과 같이 root노드가 없어도 자식노드들 끼리 다 연결되어있다. 3) child가 2개 이상일 경우 루트노드에 1번 서브트리와 2번 서브트리가 있다고 가정해보자. 1번 서브트리에는 어딘가에 ..

1. Recursive DFS RDFS 는 시작노드로부터 인접한 노드로 방문하는데, 앞 노드가 방문되지 않았으면 그 노드에서 또 재귀적으로 호출한다. 각 노드들이 RDFS의 인자가 되는 것은 한번 뿐이므로 시간 복잡도는 O(m+n)이 걸린다. 1.1 DFS tree DFS에서 전진한 edges로만 생성한 결과를 DFS Tree라 한다. 시작 노드가 루트이고, 전진하면서 방문한 노드들을 자식으로 하나씩 갖게 된다. 1.2 edge 종류 Tree Edges: DFS Tree에 들어간 모든 엣지들 Forward Edges: 조상에서 자손으로 연결되는 엣지 중 트리에 포함되지 않는 엣지들 Back edges: 자손에서 자기보다 조상들 중 하나로 연결되는 엣지 (DFS 과정에서 이미 방문한 노드로 향하는 엣지) ..

1. Traversal Traversal : 그래프의 노드를 방문하는 방법 어디서 시작하는지 정하지 않는다. 어디에서 시작하느냐에 따라서 다른 알고리즘이 된다. 같은 노드를 여러번 지나갈 수 있다. 어떤 문제를 푸느냐에 따라서 계산할 것들이 달라진다. Traversal을 통해 그래프 안에 뭔가 구조가 만들어질 것이다. => 보통 Tree가 만들어 진다. 2. Any-Order Traversal 어떤 노드 s에서 시작하고 s를 BOX에 넣는다. BOX가 비어있지 않으면 아래의 과정을 반복한다. 하나의 노드를 꺼내고 방문하지 않은 노드라면 방문한 뒤 어떤 계산을 수행한다. 그리고 노드와 인접한 모든 엣지들을 BOX에 넣는다. 이후 이 과정을 계속 반복한다. 박스에 여러개 들어있다면 어느 것을 꺼내겠는가? 어..

1. 돌 가져가기 n개의 돌이 있고, 각 돌에는 숫자가 있다. 게임 참가자는 두명이다. A는 하나의 타일 X를 고른다 B는 X를 기준으로 왼쪽 혹은 오른쪽 에서만 돌을 가져갈 수 있다. 이가 반복된다. 돌에 적힌 숫자가 점수가 된다. 이 때 어떻게 하면 최고점이 보장 될 수 있을까? 1,1 idea (모름) 2. longest Increasing Subsequence (LIS) 숫자의 나열이 있을때, 증가하는 가장 긴 Subsequence를 찾는 것이 이 문제의 정의이다. 2.1 idea 각 숫자의 나열에 나로 끝나는 LIS의 개수를 적는다 내가 앞 숫자가 나보다 작으면 내 앞 배열 + 1을 해주면 된다. 8 2 7 6 3 4 1 2 1 1 2 2 2 3 1 2 2.2 Proof 여러가지 경우에도 이 규..

1. 동전 거스름 돈 N원의 거스름 돈을 돌려줄 때, 최소 개수의 동전을 사용하여 거스름 돈을 돌려주는 방법을 구해보자. 1.1 idea 8월을 거슬러준다고 가정해보면 아래 경우중 하나가 일어날 것이다. 동전은 1원, 4원, 6원짜리가 있다고 가정해보자. 1원 동전 한개 + 7원 최적해 4월 동전 한개 + 4원 최적해 6원 동전 한개 + 2원 최적해 위처럼 작은 사건으로 나눌 수 있다. 식으로 나타내면 아래와 같다. C(i, j)를 크기 Di 동전으로 j원을 거슬러 줄 때의 동전 개수라고 가정하자. C(i, j-Di) + 1 : Di 원을 거슬러 준 경우 동전 하나 추가 C(i-1, j) :거슬러 주지 않고 다음 돈으로 스킵(i원짜리 동전이 없을 때,1원 내기) 2. 바둑 돌 가져가기 완전 정보 게임 :..

1. 최장 공통 부분 서열 (LCS) subsequence는 떨어져 있을 수 있고 substring는 연속되어야 한다. 정확히 말하자면 subsequence은 주어진 서열에서 일부 문자를 삭제한 후에 남은 문자들로 만들 서열을 의미한다. LCS은 X와 Y가 주어질 때 X와 Y의 공통 부분 서열 중 가장 긴 것을 의미한다. 1.2. idea LCS(i, j)를 Xi와 Yj의 LCS길이라고 하자. 우리가 구해야할 길이는 LCS(m,n)이다. i=0 or j=0 → LCS(i,j) =0 Xi = Yj → LCS(i,j) = LCS(i-1,j-1)+1 Xi ≠ Yj → LCS(i,j) = max{LCS(i,j-1),LCS(i-1,j)} 2. 최대 공백 정사각형 주어진 크기의 흑백 이미지에서 검은 점을 포함하지 ..